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Alt 28.09.2010, 22:34
Bunav ist offline Bunav
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Trackdarstellung mit kartesischen Koordinaten

Ausgangspunkt ist die hier gestellte Frage, ob sich ein Track mit kartesischen Koordinaten x-y-z zeichnen lässt.
Vorab: das funktioniert vorzüglich, man muss sich jedoch auf kleine Abmessungen beschränken, siehe unten.

Darstellung und Berechnung gelten für eine Kugel mit dem Radius R.

Grundlagen: Umwandeln der geografischen Koordinaten (Breite B, Länge L) in kartesische (ECEF) x,y,z.
Die Lage der Koordinatenachen lässt sich der Skizze entnehmen,
Name:  Kugel-Koordinatensystem-3-50.gif
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Formeln
x = R cos B cos L
y = R cos B sin L
z = R sin B

Alle Punkte auf der Kugeloberfläche sind durch ihre vom Koordinatenursprung M ausgehenden Ortsvektoren definiert.

Obwohl hier vorzugsweise die zeichnerische Anordnung der Trackpunkte behandelt werden soll, folgt zunächst noch ein Hinweis zum Abstand zweier Punkte.
Im Falle einer Trackpunktaufzeichnung kann man die Entfernung wegen ihrer geringen Größe als Betrag der Vektordifferenz jeweils zweier Ortsvektoren angeben. Darauf beruht auch die zeichnerische Darstellung

Bei beliebig großen Abständen ist es notwendig, den Mittelpunktswinkel zu berechnen, die Entfernung ist dann R * (Winkel im Bogenmaß).
Es lässt sich übrigens zeigen, dass diese Art der Berechnung exakt der bekannten Großkreisberechnung der sphärischen Trigonometrie entspricht.
Um diesen benötigten Zentriwinkel zweier Ortsvektoren zu ermitteln, benutzt man das Skalarprodukt („inneres Produkt“):

= || || cos ……… und stellt nach dem gesuchten Winkel um.

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Betrachtet man die Punkte in der x-y-Ebene (im Bild gelb), dann bekommt man ein mehr oder minder verzerrtes und im Allgemeinen auch gedrehtes Bild, siehe Beitrag #2.

Bei einem Track über reale Straßen in einem Gebiet geringer geografischer Länge (Deutschland) könnte die Freude darüber, dass überhaupt eine Darstellung sichtbar wird, die Bildfehler zurücktreten lassen. Bildverzerrungen wären schwerer erkennbar.

Ich habe stattdessen einen synthetischen Track verwendet, um den geplotteten Verlauf besser überprüfen zu können, „Plot-Test.gpx“ befindet sich gezippt im Anhang.

Die 6 Punkte sind so gewählt, dass ein Quadrat von genau 1 km Kantenlänge gebildet wird, die schrägen Linien zu den Punkten 5 und 6 verlaufen unter ± 45°.
Name:  Track in MS.gif
Hits: 859
Größe:  10,8 KB
Ja, es ist –wenn man Punkt 6 weglässt- „Das Haus vom Nikolaus“. Der farbige Track stammt aus einem Screenshot (MapSource), mit der Einstellung „Keine Karte“, um den Verlauf der Straßen zu unterdrücken. Punkt 3 hat die Koordinaten N51°, E7°, man erkennt das hellgraue Gradgitter.
Ich habe Punkt 6 zugefügt, als ich beim Zeichnen merkte, dass eventuelle Vorzeichenfehler bei den x-Koordinaten (im Bild ist das die vertikale Richtung !) nicht erkannt werden, wenn das Bild Achsensymmetrie zeigt.

Die Längen der Tracksegmente hängen linear vom Kugelradius R ab. Ich habe mit R = 6378,3 km gerechnet, so dass eine Analyse mit GTA gleiche Ergebnisse für die Segmentlängen liefert.
Für eigene Rechnungen benutze ich auch den gewichteten Mittelwert aus zweimal Äquatorradius plus einmal Polradius (6371,009 km). Beim Arbeiten mit Seemeilen (1 Winkelminute) führt die festgelegte Größe 1 sm = 1,852 km auf den Radius 6366,707 km.

Weiter mit
Beitrag #2: Verzerrte Darstellung
Beitrag #3: Korrektes Plotten.



Angehängte Dateien
Dateityp: zip Plot-test.zip (734 Bytes, 74x aufgerufen)
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