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  #1  
Alt 22.04.2012, 10:59
Bunav ist offline Bunav
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Methode der Trilateration

Übersicht

Zum Grundwissen bei der Positionsermittlung mit Hilfe von Navigationssatelliten gehört, dass sich der Standort eines GPS-Empfängers berechnen lässt, wenn die Positionen mindestens dreier Satelliten und die drei dazugehörigen Entfernungen zwischen Sat und Messgerät bekannt sind.

Der Teufel liegt im Detail, es gibt eine Vielzahl von Einflussgrößen, und alle Messungen sind fehlerbehaftet.

Hier soll daher –-losgelöst von Navigation-- nur behandelt werden, wie man allgemein aus bekannten Koordinaten dreier Punkte P1, P2, P3 und den drei gemessenen Entfernungen R1, R2, R3 zum Zielpunkt Pz die Koordinaten des Punktes Pz berechnet. Diese Trilateration führt ausschließlich auf Längenmessungen, Winkelmessungen kommen nicht vor.
Name:  Trilateration.jpg
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Formal handelt es sich um eine übersichtliche Aufgabe: die drei Entfernungen (im Bild rot gezeichnet) sind bekannt, man erhält drei Gleichungen mit den drei unbekannten kartesischen Koordinaten Pzx, Pzy, Pzz des Punktes Pz.
Leider kommen diese Variablen nicht linear vor sondern quadratisch (Pythagoras). Wegen der Doppeldeutigkeit einer Quadratwurzel ist das Ergebnis demzufolge nicht eindeutig.

Zum Veranschaulichen des Problems kann man sich vorstellen, in den drei Punkten P1, P2, P3 seien Seile (rot) mit den gemessenen Entfernungen zu Pz befestigt und an ihren Enden verknotet.
Nimmt man für diese Überlegung die Seile als starr an, d.h. frei von Längenänderungen, dann lässt sich experimentell der Punkt Pz finden, indem man alle Seile straff zieht.

Diese Veranschaulichung zeigt auch sofort, dass neben dem eingezeichneten Punkt Pz (hier oberhalb der gelb markierten Ebene „E“ durch die drei Punkte) eine zweite Lösung existiert, indem man die Seile nach unten spannt. Die beiden Lösungen Pz1 und Pz2 haben identische Abstände zur Ebene „E“, liegen also symmetrisch zu ihr.
Die fehlende Eindeutigkeit stellt kein Problem dar, weil sich im Regelfall eine der beiden Lösungen per Anschauung ausschließen lässt. Speziell bei der GPS-Anwendung liegt die zu verwerfende zweite Lösung „hinter“ den Satelliten,

GPS ist für den Hausgebrauch zu aufwendig, aber ich suchte nach einer Möglichkeit, mit solchen Messungen in kleinerem Maßstab zu experimentieren. Elektronische Längenmessungen ist heute auch im privaten Bereich möglich, denn es stehen Laserentfernungsmesser mit beachtlicher Genauigkeit (typischer Fehler: ± 1 mm) für mäßiges Geld zur Verfügung. So lässt sich z.B. die Lage eines unzugänglichen Punktes dadurch ermitteln, dass man von drei Punkten aus die Entfernungen misst.

Die Suche nach einer Lösung des Gleichungssystems erwies sich als wenig ergiebig. Wenn jemand eine Alternative für das Programm des folgenden Beitrags kennt, erbitte ich Informationen.



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Beitrag #2: Programm
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  #2  
Alt 22.04.2012, 11:14
Bunav ist offline Bunav
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Programm

Bei WIKIPEDIA findet sich ein Rechengang, der sich in ein Programm umsetzen lässt.

Ausgangspunkt ist eine Sonderfall Betrachtung, bei der
  • Alle drei Punkte P1, P2, P3 in der xy-Ebene liegen, d.h. die jeweilige z-Koordinate null ist,
  • P1 im Koordinatenursprung liegt, d.h. P1 ( 0; 0; 0),
  • P2 auf der x-Achse liegt, d.h. P2 ( x2, 0; 0).
Die Koordinaten Pzx, Pzy und ± Pzz des Zielpunktes Pz lassen sich mit überraschend geringem mathematischem Aufwand berechnen (Abschnitt „Derivation“). Die beiden Lösungen Pz1 und Pz2 befinden sich im gleichen Abstand oberhalb und unterhalb der xy-Ebene.

Nun liegen im Allgemeinen die Verhältnisse nicht so vorteilhaft –schon gar nicht bei GPS-Anwendungen. Die drei Ausgangspunkte für die Entfernungsmessungen P1, P2, P3 müssen sich beliebig wählen lassen.

Eine mögliche Abhilfe besteht darin, das Koordinatensystem so zu transformieren, dass die genannten drei Bedingungen erfüllt sind: mit einer Translation lässt sich P1 (0; 0; 0) erreichen, und drei Rotationen um die Koordinatenachsen führen zur gewünschten Lage der Punkte P1, P2, P3. Für die beiden gefundenen Lösungen Pz müssen die vier Transformationen wieder in umgekehrter Richtung ausgeführt werden, um die Koordinaten im ursprünglichen System zu erhalten.

Eleganter, aber weniger anschaulich, verläuft die Lösung bei WIKIPEDIA. Allerdings muss man gegebenenfalls einige Grundkenntnisse der Vektorrechnung reaktivieren. Ohne die Begriffe „Vektordifferenz“, „Einheitsvektor“, „Skalares Produkt“ und „Kreuzprodukt“ wird die Umsetzung in ein Programm nicht gelingen.
Im Abschnitt „Preliminary and final computations“ ist beschrieben, wie im Punkt P1 ein neues Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren , , erzeugt wird.
zeigt in Richtung P2, und liegen in der Ebene „E“, und steht senkrecht auf ihr. Damit hat man die Voraussetzungen des oben beschriebenen Sonderfalls.

Lösungen zum Bild in Beitrag #1 (alle Werte in einer beliebigen Längeneinheit)
Mit den Abständen R1 = , R2 = , R3 = liefert das Programm
Pz1 (11,28454910; 4,935586061; -6,026399155) und ... Pz2 ( 6; 2, 11)
Die Abstände von der Ebene „E“ betragen jeweils 9,0337861665.
Hier erkennt man noch, dass zu Testzwecken Pz mit ganzzahligen Koordinaten vorgegeben war.

Solange keine Fehlerbehandlung wirkt, stürzt das Programm beispielsweise dann ab, wenn die Punkte P1, P2, P3 auf einer Geraden liegen. Das ist anschaulich, wenn man an die Modellvorstellung mit den drei Seilen denkt.
Genauso lässt sich damit veranschaulichen, dass man beim Eingeben der Abstände R1, R2, R3 nicht beliebige Werte vorgeben darf. Hat eines der Seile eine deutlich abweichende Länge von den beiden anderen, lassen sich diese Seile nicht mehr gleichzeitig straffen.
Es empfiehlt sich auf jeden Fall, für die beiden Lösungen Pz die Abstände zu den drei Bezugspunkten berechnen zu lassen und sie mit den eingegebenen Werten R1, R2, R3 zu vergleichen.

Bleibt noch festzuhalten, dass die Trilateration prinzipiell die 3-dimensionale Lage eines Punktes liefert, wenn die Abstände zu drei bekannten Punkten gemessen werden können.
Um wieder auf die Anwendung in der Satellitennavigation zurückzukommen: Natürlich benötigt man wegen der zahlreichen Fehlerquellen möglichst viele Satelliten (Multilateration), und die GPSgeräte zeigen bei nur drei verwendeten Satelliten keine Höhe über Grund an sondern benutzen die Erdoberfläche (Fläche des Ellipsoids) zusätzlich als Information.
Aber die Vorstellung, mit nur drei Satelliten sei grundsätzlich keine Höhe berechenbar, lässt sich nicht halten.

Grüße Bunav
** nüvi 765 T, GPSMAP 76Cx, eTrex Legend HCx, miniHomer **
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  #3  
Alt 10.08.2012, 22:32
wernfried ist offline wernfried
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Zitat:
Zitat von Bunav Beitrag anzeigen
... und die GPSgeräte zeigen bei nur drei verwendeten Satelliten keine Höhe über Grund an sondern benutzen die Erdoberfläche (Fläche des Ellipsoids) zusätzlich als Information.
Aber die Vorstellung, mit nur drei Satelliten sei grundsätzlich keine Höhe berechenbar, lässt sich nicht halten.
Doch, der dritte Sattelit wird ausschlieslich für die Synchronisation der Uhr im GPS-Empfänger verwendet, da dort eine Atomuhr viel zu teuer wäre. Bleiben für die Positionsermittlung nur noch zwei übrig.

Gruss
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  #4  
Alt 11.08.2012, 01:38
Voyager ist offline Voyager
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Besonders einfach wird das Verfahren, wenn man weiß, dass man sich auf der Erdoberfläche (z. B. auf dem Meer) befindet. Dann kommt man mit drei Satelliten aus und kann als weitere Gleichung die Gleichung der Erdoberfläche heranziehen:
x2+y2+z2 = (3671 km)2




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  #5  
Alt 11.08.2012, 14:32
wernfried ist offline wernfried
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Zitat:
Zitat von Voyager Beitrag anzeigen
Dann kommt man mit drei Satelliten aus und kann als weitere Gleichung die Gleichung der Erdoberfläche heranziehen:
x2+y2+z2 = (3671 km)2
Das würde nur funktionieren, wenn die Erde eine Kugel wäre. Die Erde hat aber eher die Form eines Rotationsellipsoides. Der Radius am Äquator ist ca. 22km grösser als an den Polen.
Für GPS wäre die Formel nicht genau genug.

Gruss
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  #6  
Alt 16.08.2012, 10:55
Bunav ist offline Bunav
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Zitat:
Zitat von wernfried Beitrag anzeigen
Doch, der dritte Sattelit wird ausschlieslich für die Synchronisation der Uhr im GPS-Empfänger verwendet, da dort eine Atomuhr viel zu teuer wäre. Bleiben für die Positionsermittlung nur noch zwei übrig.
Hallo Wernfried,

du hast sicher gelesen, dass es um die allgemeine Methode Trilateration geht, mit der sich die Position eines Punktes aus den gemessenen drei Abständen von drei Punkten mit bekannten Koordinaten geht.
Entfernungsmessungen zu Satelliten sind dabei eine spezielle Anwendung, es ändert sich aber nichts am Prinzip: man benötigt drei Abstände. Und deshalb steht im letzten Satz des Beitrags #2 „grundsätzlich“. Mit drei Abständen gelingt die Positionsbestimmung. Wenn einer der SAT nicht zur Entfernungsmessung genutzt wird, benötigt man weitere Informationen, z.B. in der Oberfläche des Ellipsoids. Außerdem lassen sich die beobachteten Frequenzänderungen (Doppler-Shift) heranziehen.

Das meinte ich mit dem Hinweis, dass Höhenangaben grundsätzlich auch mit drei SAT möglich sind –vorausgesetzt, die drei Abstände sind bekannt.




Zitat:
Zitat von Voyager Beitrag anzeigen
Besonders einfach wird das Verfahren, wenn man weiß, dass man sich auf der Erdoberfläche (z. B. auf dem Meer) befindet. Dann kommt man mit drei Satelliten aus und kann als weitere Gleichung die Gleichung der Erdoberfläche heranziehen:
x2+y2+z2 = (3671 km)2
Hallo Günther

a) Einbeziehen der Erdoberfläche steht bereits in Beitrag #2
Zitat:
Zitat von Bunav Beitrag anzeigen
… und die GPSgeräte zeigen bei nur drei verwendeten Satelliten keine Höhe über Grund an sondern benutzen die Erdoberfläche (Fläche des Ellipsoids) zusätzlich als Information.
b) Dass es sich bei der Formel um die Gleichung einer Kugel handelt, hat Wernfried bereits klargestellt. Das Ellipsoid bietet da höhere Genauigkeit.

c) Bei einem wörtlichen Zitat wäre es ratsam, die Quelle anzugeben (Link).

Grüße Bunav
** nüvi 765 T, GPSMAP 76Cx, eTrex Legend HCx, miniHomer **
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  #7  
Alt 16.08.2012, 21:26
wernfried ist offline wernfried
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Zitat:
Zitat von Bunav Beitrag anzeigen
Aber die Vorstellung, mit nur drei Satelliten sei grundsätzlich keine Höhe berechenbar, lässt sich nicht halten.
Entschuldigung, ich hatte den Beitrag nur überflogen. Die Aussage mit den drei Satelliten ist für mich nachvollziehbar wenn man folgendes Gedankenexperiment macht:
Bei einem Satelliten befinde ich mich auf einer Kugeloberfläche, bei zwei Satelliten befinde ich mich auf einem Kreis. Kommt ein weiterer Satellit hinzu gibt es zwei Schnittpunkte - eindeutig ist das noch nicht. Mit der Randbedingung dass ich mich auf der Erdoberfläche befinde, habe ich einen "kostenlosen" vierten Satelliten, der befindet sich im Erdmittelpunkt und der Abstand zum Empfänger ist ca. 6300km.

Erst jetzt ist meine Position auf der Erdoberfläche eindeutig, die Höhe kenne ich noch nicht.

Ich vermute mal deine Aussage "Speziell bei der GPS-Anwendung liegt die zu verwerfende zweite Lösung „hinter“ den Satelliten" ist nicht (immer) zutreffend - ist aber nur eine Vermutung.

Gruss
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  #8  
Alt 19.08.2012, 17:21
Bunav ist offline Bunav
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Zitat:
Zitat von wernfried Beitrag anzeigen
Ich vermute mal deine Aussage "Speziell bei der GPS-Anwendung liegt die zu verwerfende zweite Lösung „hinter“ den Satelliten" ist nicht (immer) zutreffend - ist aber nur eine Vermutung.
Wetten, dass …. die Aussage gerade bei Satellitennavigation ausnahmslos zutrifft?

Nicht ohne Grund habe ich das Verfahren allgemein beschrieben, wobei noch keine Satelliten auftreten. Für einen Punkt Pz kennt man die drei Entfernungen von den Messpunkten P1, P2, P3 (siehe Bild in Beitrag #1) und berechnet daraus die drei Koordinaten für Pz.
Statt der bekannten Erklärung mit den beiden Schnittpunkten der drei Kugelschalen, habe ich zur Veranschaulichung drei Seile gewählt, im Bild rot gezeichnet.
In Beitrag #1 steht beschrieben, wie man sich die Seile auch nach unten gespannt vorstellen kann. So lässt sich die symmetrische Lage der beiden Lösungen über und unter der Ebene „E“ (gelb) veranschaulichen, auch nachzulesen (mathemat. Begründung) im ersten Teil „Derivation“ des verlinkten WIKIPEDIA Artikels.
Diese Situation tritt immer dann auf, wenn der Zielpunkt Pz nicht in der Ebene durch die drei Messpunkte liegt (Doppellösung für Pz). In der Satellitennavigation existiert immer eine zweite Lösung „hinter“ der Ebene durch P1, P2, P3 und im selben Abstand zu dieser Ebene.

Vielleicht noch eine Kuriosität:
Ich habe zunächst nur den Sonderfall (siehe WIKIPEDIA) mit P1 (0; 0; 0), P2 (x2, 0; 0), P3(x3; y3; 0) programmiert, wobei jeweils –anschaulich- zwei Lösungen auftraten, die sich lediglich im Vorzeichen der z-Koordinate unterscheiden. Leicht einzusehen, denn die Ebene „E“ durch die drei Messpunkte ist die x-y-Ebene.

Nach Vervollständigen des Programms, um eine allgemeine Anwendbarkeit zu erhalten, habe ich natürlich intensiv getestet, indem ich mir die Position Pz vorgab und der Rechner die drei Distanzen R1, R2, R3 ermittelte.
Und dann kam eine Quälerei auf mich zu, manche Ergebnisse entsprachen den Vorgaben, andere Lösungen zeigten keinerlei Übereinstimmung.
Wirklich nervend, denn es ließ sich kein Programmierfehler finden, und ich konnte auch keinen Trend erkennen, wann die Lösung richtig war und wann nicht.

Da dauerte es einige Zeit, bis mir dämmerte, dass alle Ergebnisse richtig waren. Im allgemeinen Fall ist es so, dass bei einer Vorgabe ganzzahliger Koordinaten des Punktes Pz eine der Lösungen natürlich diese Ganzzahlen enthält, die zweite Lösung wegen der Schieflage der Ebene „E“ aber völlig andere Zahlenwerte enthält. Das Beispiel in Beitrag #2 liefert ja auch derartige Ergebnisse.
Ich hätte mir viel Kopfzerbrechen sparen können, wenn ich statt nur einer Lösung sofort immer beide Lösungen Pz abgerufen hätte, es hing also davon ab, welche der beiden Lösungen angezeigt wurde.

Nun ist die Bestätigung der zwei Lösungen auch bei einer beliebig großen Anzahl von Überprüfungen kein Beweis für die beschriebenen Eigenschaften, aber wenn du ernsthafte Zweifel hast, kannst du mit einem einzigen Gegenbeispiel meine Aussage widerlegen.
Daher als Angebot: „Wetten, dass du kein einziges Beispiel findest, in dem nicht zwei Lösungen existieren, welche symmetrisch zur Ebene ‚E’ liegen, d.h. auf unterschiedlichen Seiten“.
Wie beschrieben, darf Pz nicht in der Ebene „E“ liegen, das ist gerade in der Satellitennavigation eine Selbstverständlichkeit.

Grüße Bunav
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