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  #1  
Alt 28.09.2010, 22:34
Bunav ist offline Bunav
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Trackdarstellung mit kartesischen Koordinaten

Ausgangspunkt ist die hier gestellte Frage, ob sich ein Track mit kartesischen Koordinaten x-y-z zeichnen lässt.
Vorab: das funktioniert vorzüglich, man muss sich jedoch auf kleine Abmessungen beschränken, siehe unten.

Darstellung und Berechnung gelten für eine Kugel mit dem Radius R.

Grundlagen: Umwandeln der geografischen Koordinaten (Breite B, Länge L) in kartesische (ECEF) x,y,z.
Die Lage der Koordinatenachen lässt sich der Skizze entnehmen,
Name:  Kugel-Koordinatensystem-3-50.gif
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Formeln
x = R cos B cos L
y = R cos B sin L
z = R sin B

Alle Punkte auf der Kugeloberfläche sind durch ihre vom Koordinatenursprung M ausgehenden Ortsvektoren definiert.

Obwohl hier vorzugsweise die zeichnerische Anordnung der Trackpunkte behandelt werden soll, folgt zunächst noch ein Hinweis zum Abstand zweier Punkte.
Im Falle einer Trackpunktaufzeichnung kann man die Entfernung wegen ihrer geringen Größe als Betrag der Vektordifferenz jeweils zweier Ortsvektoren angeben. Darauf beruht auch die zeichnerische Darstellung

Bei beliebig großen Abständen ist es notwendig, den Mittelpunktswinkel zu berechnen, die Entfernung ist dann R * (Winkel im Bogenmaß).
Es lässt sich übrigens zeigen, dass diese Art der Berechnung exakt der bekannten Großkreisberechnung der sphärischen Trigonometrie entspricht.
Um diesen benötigten Zentriwinkel zweier Ortsvektoren zu ermitteln, benutzt man das Skalarprodukt („inneres Produkt“):

= || || cos ……… und stellt nach dem gesuchten Winkel um.

=============================

Betrachtet man die Punkte in der x-y-Ebene (im Bild gelb), dann bekommt man ein mehr oder minder verzerrtes und im Allgemeinen auch gedrehtes Bild, siehe Beitrag #2.

Bei einem Track über reale Straßen in einem Gebiet geringer geografischer Länge (Deutschland) könnte die Freude darüber, dass überhaupt eine Darstellung sichtbar wird, die Bildfehler zurücktreten lassen. Bildverzerrungen wären schwerer erkennbar.

Ich habe stattdessen einen synthetischen Track verwendet, um den geplotteten Verlauf besser überprüfen zu können, „Plot-Test.gpx“ befindet sich gezippt im Anhang.

Die 6 Punkte sind so gewählt, dass ein Quadrat von genau 1 km Kantenlänge gebildet wird, die schrägen Linien zu den Punkten 5 und 6 verlaufen unter ± 45°.
Name:  Track in MS.gif
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Ja, es ist –wenn man Punkt 6 weglässt- „Das Haus vom Nikolaus“. Der farbige Track stammt aus einem Screenshot (MapSource), mit der Einstellung „Keine Karte“, um den Verlauf der Straßen zu unterdrücken. Punkt 3 hat die Koordinaten N51°, E7°, man erkennt das hellgraue Gradgitter.
Ich habe Punkt 6 zugefügt, als ich beim Zeichnen merkte, dass eventuelle Vorzeichenfehler bei den x-Koordinaten (im Bild ist das die vertikale Richtung !) nicht erkannt werden, wenn das Bild Achsensymmetrie zeigt.

Die Längen der Tracksegmente hängen linear vom Kugelradius R ab. Ich habe mit R = 6378,3 km gerechnet, so dass eine Analyse mit GTA gleiche Ergebnisse für die Segmentlängen liefert.
Für eigene Rechnungen benutze ich auch den gewichteten Mittelwert aus zweimal Äquatorradius plus einmal Polradius (6371,009 km). Beim Arbeiten mit Seemeilen (1 Winkelminute) führt die festgelegte Größe 1 sm = 1,852 km auf den Radius 6366,707 km.

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Beitrag #2: Verzerrte Darstellung
Beitrag #3: Korrektes Plotten.



Angehängte Dateien
Dateityp: zip Plot-test.zip (734 Bytes, 70x aufgerufen)
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  #2  
Alt 28.09.2010, 22:34
Bunav ist offline Bunav
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(2) / (3) Verzerrte Darstellung

Die Darstellung der x-y-Ebene liefert eine dem ursprünglichen Track ähnliche Form, die aber im allgemeinen Fall sehr deutlich vom tatsächlichen Verlauf abweicht. Es können Stauchungen in horizontaler und vertikaler Richtung sowie eine Drehung des Bildes auftreten. So sieht der Track in der x-y-Ebene aus:

Name:  Track-verzerrt.jpg
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a) Stauchung in vertikaler Richtung (x-Achse im ECEF-System) abhängig vom Sinus der geografischen Breite
Im Bild lässt sich sofort erkennen, das Quadrat (gestrichelt) ist in der Höhe gestaucht, hier auf etwa 78% (sin 51°). In Äquatornähe schrumpft eine kleine vertikale Länge in der Projektion auf Null, für B=90° entfällt die Verzerrung durch Stauchung.

b) Stauchung in horizontaler Richtung (y-Achse im ECEF-System) abhängig vom Kosinus der geografischen Länge.
Diese Verzerrung ist hier gering (cos 7° = 0,99), sie verschwindet für Punkte in der Nähe des Nullmeridians. In der Nähe der beiden Meridiane E90° und W90° schrumpft eine kleine horizontale Strecke in der Projektion auf Null.

c) Drehung des Bildes um den Winkel der geografischen Länge.
Die Drehung um hier „nur“ 7° lässt sich sehr deutlich beobachten. Die Drehung entfällt für Punkte in Nähe des Nullmeridians.

Zusammengefasst: Plotten der x-y-Ebene liefert im allgemeinen Fall ein 3-fach verzerrtes Bild, in beiden Achsrichtungen gestaucht und insgesamt gedreht.

Es existiert nur eine einzige Ausnahme: die drei Verzerrungen entfallen, wenn die Trackpunkte nahe am Nullmeridian liegen und eine Höhe von etwa N90° haben, d.h. sie müssen sich in der Nähe des Nordpols befinden.
Dann erhält man in der x-y-Ebene die korrekte Form des Tracks.

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Beitrag #3 zeigt, wie man diese Ausnahme nutzen kann, um die beschriebenen Verzerrungen zu vermeiden.



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  #3  
Alt 28.09.2010, 22:35
Bunav ist offline Bunav
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(3) / (3) Umformungen für eine unverzerrte Darstellung

Nun werden Tracks in der Nachbarschaft des Nordpols zwar nicht so sehr häufig auftreten, aber durch eine geeignete Umformung lässt sich diese Vorzugsbedingung für jeden beliebigen Track erreichen.

Die Trackpunkte sind durch eine Anzahl von Ortsvektoren gleicher Länge definiert. Die Kugel hat den Vorteil, dass man auf ihrer Oberfläche immer wieder exakt den gleichen Track bekommt, wenn man alle Vektoren um den denselben Winkel dreht.

Da bietet es sich an, einen der Vektoren (Trackanfang, Trackmitte, …) so zu drehen, dass er zum Nordpol verläuft, also auf der z-Achse liegt, alle übrigen Ortsvektoren müssen eine identische Drehung erfahren.

Man kann jeden der 6 Trackpunkte als Bezugspunkt benutzen und ihn auf die Position des Nordpols drehen. Ich habe stattdessen einen Hilfspunkt „P0“ auf halber Höhe und halber Breite des Tracks ("Trackmitte") gewählt. Die Trackpunkte liegen dann symmetrisch zu P0.

Die Drehungen sind in zwei Teile aufgesplittet, das erleichtert die Anschauung.

1. Drehung um die z-Achse, dabei bleiben alle z-Koordinaten erhalten.
Der notwendige Winkel z_0 ist der Winkel, den die Projektion des Ortsvektors auf die x-y-Ebene gegen die x-Achse (gegeben Koordinaten x0 und y0) bildet.
Für jeden Ortsvektor den Winkel z_i ermitteln, der neue Winkel nach der Drehung ist z_i - z_0, daraus ergeben sich die neuen Koordinaten x_i und y_i.
Alle Punkte liegen nun (kleine Abmessungen!!) in der Nähe des Nullmeridians.

2. Drehung um die y-Achse, dabei bleiben alle y-Koordinaten erhalten.
Der notwendige Winkel y_0 ist der Winkel, den die Projektion des Ortsvektors auf die x-z-Ebene gegen die z-Achse (gegeben Koordinaten x0 und z0) bildet.
Wie oben beschrieben, für jeden Ortsvektor den Winkel y_i ermitteln und von ihm den Winkel y_0 subtrahieren, == > neue Koordinaten x_i und y_i.

Alle Punkte liegen nun (kleine Abmessungen!!) nahe dem Nordpol, der Plot der x-y-Ebene weist keine Verzerrungen auf. Der Koordinatenursprung "O" ist der Nordpol.

Name:  Trackdarstellung.gif
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Wegen des recht kleinen Gebietes von 2 km x 1 km sind die Abstände zwischen den 6 Punkten sehr genau.
Prinzipiell erhält man geringere Abstände, weil es sich um Kreissehnen statt um Kreisbögen handelt, aber diese Einschränkung ist nicht schwerwiegend.
Selbst Abstände von maximal 600 km (alle Trackpunkte liegen innerhalb eines Kreises mit dem Durchmesser 600 km) erzeugen in dieser Hinsicht nur einen Fehler von unter 0,4 Promille.

Eine Trackdarstellung für „kleine Gebiete“ ist also gut möglich, man darf halt dabei nicht vergessen, dass die Rechnung von der Kugelform ausgeht, die Erde aber diese Idealform nicht aufweist. Und immer bleibt das Problem, dass sich eine gekrümmte Fläche prinzipiell nicht verzerrungsfrei in der Ebene darstellen lässt.
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  #4  
Alt 30.09.2010, 18:07
Bunav ist offline Bunav
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Koordinaten für Kontrolle / Test

Falls jemand ebenfalls mit dieser Zeichenmethode spielen will, hier die Zahlenwerte.
Alle Koordinaten sind Kilometerwerte.

Schema der Nummerierung:
Für die Ausgangsposition heißen die Punkte „0“ bis „6“.
Zu „Bastelzwecken“ habe ich bei den beiden Drehungen nicht die Ausgangswerte überschrieben sondern die Punkt-Bezeichnungen für beide Drehungen um jeweils 10 erhöht („10“ bis „16“ und „20“ bis „26“).

Code:
********* Ausgangswerte **********
Punkt  0: x = 3984,52171845766      y = 488,733418209467   z = 4956,55497407872 
Punkt  1: x = 3984,96767041859      y = 488,28499580518    z = 4956,24064373293 
Punkt  2: x = 3984,19636615718      y = 488,190291547067   z = 4956,87002503991 
Punkt  3: x = 3984,07454577934      y = 489,182843707955   z = 4956,870085961 
Punkt  4: x = 3984,84585004427      y = 489,277547963448   z = 4956,24070465144 
Punkt  5: x = 3984,39926324046      y = 489,726468915148   z = 4956,55539530558 
Punkt  6: x = 3984,64290399248      y = 487,74136459715    z = 4956,55527346597 

********* Nach der 1. Drehung *****
Punkt 10: x = 4014,3833497731       y = 0                  z = 4956,55497407872 
Punkt 11: x = 4014,77139100472      y =-0,499379421562999  z = 4956,24064373293 
Punkt 12: x = 4013,9942943886       y =-0,499476324396875  z = 4956,87002503991 
Punkt 13: x = 4013,99421902686      y = 0,500523671033026  z = 4956,870085961 
Punkt 14: x = 4014,77131564617      y = 0,500620570836917  z = 4956,24070465144 
Punkt 15: x = 4014,38270498998      y = 1,00057212060321   z = 4956,55539530558 
Punkt 16: x = 4014,38285571028      y =-0,99942786606182   z = 4956,55527346597 

********* Nach der 2. Drehung *****
Punkt 20: x = 0                     y = 0                  z = 6378,3 
Punkt 21: x = 0,499379176769906     y =-0,499379421562999  z = 6378,29996090186 
Punkt 22: x =-0,500620813410284     y =-0,499476324396875  z = 6378,29996079694 
Punkt 23: x =-0,500717719358946     y = 0,500523671033026  z = 6378,29996070723 
Punkt 24: x = 0,499282274917896     y = 0,500620570836917  z = 6378,29996081215 
Punkt 25: x =-7,6617109616052E-04   y = 1,00057212060321   z = 6378,29992151944 
Punkt 26: x =-5,72363287247782E-04  y =-0,99942786606182   z = 6378,29992169886 
Grüße Bunav
** nüvi 765 T, GPSMAP 76Cx, eTrex Legend HCx **
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  #5  
Alt 13.08.2012, 17:07
wernfried ist offline wernfried
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Irgendwie habe ich dein Eindruck, dass du einfach nur nach einer geeigneten Projektionsmethode suchst. Da gibt es doch bereits diverse (siehe Kartennetzentwurf), warum suchst du dir nicht einfach eine aus die deinen Anforderungen am besten entspricht und verwendest diese?

Gruss
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  #6  
Alt 26.08.2012, 18:13
Bunav ist offline Bunav
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Hallo Wernfried,

dein Eindruck und damit deine Frage gehen vermutlich an der beschriebenen Methode vorbei.

In Beitrag #1 steht ein Link zur Vorgeschichte. Gefragt war, ob man einen Trackverlauf dadurch zeichnen kann, dass man die gegebenen Positionsdaten (mit Länge und Breite) in kartesische Koordinaten transformiert.
Das funktioniert durchaus, und wer einen Track z.B. innerhalb Deutschlands anzeigt/druckt, wird sich über den Erfolg freuen und die horizontale Stauchung und die geringe Drehung mit einiger Wahrscheinlichkeit nicht bemerken. In Großbritannien wären die Ergebnisse noch besser, in Mittelamerika dagegen verheerend.

Ich habe keine Kenntnisse im Bereich der verwendeten Projektionsarten und der zahlreichen Kartennetzentwürfe (es sollen ja nur ein paar Hundert sein), und mit dem beschriebenen Verfahren soll nicht die Welt dargestellt werden sondern ein relativ kleiner Ausschnitt für einen üblichen Track.

Für jeden individuellen (!!) Track ändert sich die Rechenweise abhängig von der „Mitte“ des Tracks (mittlere Breite, mittlere Länge). Dabei gibt es zwei Möglichkeiten
a) Einrichten eines Koordinatensystems in der Trackmitte, hier im Beispiel ist es Punkt „0“. Die x-y-Ebene wird von der Tangentialebene an die Kugel gebildet, die z-Achse verläuft normal dazu. Diese Darstellung erscheint mir weniger anschaulich, ich selbst wäre auf Ergebnisse einer Formelsammlung angewiesen. Deshalb verwendete ich oben die Alternative

b), eine 2-stufige (für mich kontrollierbare) Drehung aller Ortsvektoren so, dass Punkt „0“ mit dem Nordpol zusammenfällt. Das Koordinatensystem ECEF bleibt erhalten.
Hier noch ein weiterer Versuch einer Veranschaulichung, wie sich alle Ortsvektoren in jeder der beiden Stufen um nur einen einzigen Winkel drehen.
Die Ortsvektoren reichen vom Punkt (0; 0; 0) –dem Kugelmittelpunkt- zum jeweiligen Trackpunkt auf der Kugeloberfläche. Stellt man sich diese Vektoren als starre Metallstabe vor, die im Nullpunkt miteinander verschweißt sind, dann bleibt die Lage relativ zueinander bei jeder Drehung eines einzelnen Vektors erhalten.
Nach der ersten Drehung um die z-Achse liegt Punkt „0“ auf dem Nullmeridian, seine y-Koordinate ist 0, und nach einer weiteren Drehung um die y-Achse wird auch seine x-Koordinate Null (Nordpol).
Unabhängig von der Vorgehensweise nach a) oder b) hat man weder ein Problem mit der Flächentreue noch mit der Abstandstreue und auch nicht mit der Winkeltreue. Das ist halt die „Gnade der kleinen Abmessungen“.

Und wer den Vorgang etwas klangvoller haben möchte: inzwischen habe ich gesehen, dass dieses einfache und nicht sehr rechenintensive Verfahren vermutlich auf den Namen „Gnomonische Azimutalprojektion“ hört.

Im Übrigen stehen alle auftretenden Zahlenwerte in Beitrag #4 zur Verfügung. Die letzten sieben Zeilen zeigen die endgültigen Koordinaten der Punkte „0“ bis „6“. Man erkennt auch ohne zeichnerische Darstellung, dass die Punkte in der x-y-Ebene den Vorgaben sehr genau entsprechen.

Grüße Bunav
** nüvi 765 T, GPSMAP 76Cx, eTrex Legend HCx, miniHomer **
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  #7  
Alt 27.08.2012, 09:12
wernfried ist offline wernfried
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Doch, ich habe dich schon verstanden nur wäre ich anders vorgegangen.

Du hast ein Problem zur Darstellung von Tracks und hast dir eine Projektion entwickelt. Danach hast du festgestellt, dass du die Gnomonische Azimutalprojektion "erfunden" hast.
Grundsätzlich ist da nichts Verkehrtes dran, aber ich hätte mir einfach die Projektion herausgesucht und den Rest den Leuten überlassen, die sich bereits früher damit beschäftigt, bzw. ein Programm dafür geschrieben haben.

Mit deinen Ausgangswerten komme ich auf diese Zahlen:
Code:
cs2cs -f "%.6f" +proj=geocent +ellps=sphere +a=6378300 +b=6378300 +units=km +to +proj=gnom +lon_0=6.992855522 +lat_0=50.995502309 +units=m  
3984.52171845766      488.733418209467   4956.55497407872
-0.000006       -0.000002 0.000000
3984.96767041859      488.28499580518    4956.24064373293
-499.366669     -499.366420 0.000000
3984.19636615718      488.190291547067   4956.87002503991
-499.463569     500.608021 0.000000
3984.07454577934      489.182843707955   4956.870085961
500.510877      500.704924 0.000000
3984.84585004427      489.277547963448   4956.24070465144
500.607774      -499.269521 -0.000000
3984.39926324046      489.726468915148   4956.55539530558
1000.546557     0.766149 0.000000
3984.64290399248      487.74136459715    4956.55527346597
-999.402344     0.572346 0.000000
Das passt doch nicht schlecht, der Unterschied ist weniger als 1m. Warum das Rad jeweils neu erfinden?

Gruss
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  #8  
Alt 29.08.2012, 09:36
Bunav ist offline Bunav
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Hallo Wernfried,

dass du das Zeichnen eines Tracks anders angehst als ich, ist doch vollkommen OK. Was wir hier besprechen, dürften ohnehin nur relativ wenige Leser verfolgen, und die suchen sich dann bei Bedarf schon einen Favoriten aus.

Beitrag #7 halte ich allerdings für wenig hilfreich.
Du schreibst nicht, welche Projektion du als zweckmäßig ansiehst und deinen Daten zugrunde liegt. Die geeignete Projektion und den Namen eines Programms hätte man auch schon in #5 erwarten können.

Aus den Spaltenüberschriften wird leider nicht klar, welche Zahlen (Formatierung !!) da eigentlich stehen.

Keine Information über die Lage des verwendeten Koordinatensystems (offenbar nicht ECEF) und die Richtungen der Koordinatenachsen.
Zitat:
Zitat von wernfried
Warum das Rad jeweils neu erfinden?
Sehr einfach: man muss es neu erfinden, wenn es nicht bekannt ist. ==> Übertragen auf die Aufgabe „Trackdarstellung“:
Ich gehöre zu der großen Zahl derer, welchen die Grundlagen der Projektionen fehlen.
Ich kenne also auch nicht die Leute, „die sich bereits früher damit beschäftigt, bzw. ein Programm dafür geschrieben haben“, kann ihnen demzufolge nichts überlassen.

Das Thema „GPS Koordinaten Kartesisch abbilden[VB.NET]“ kam 2009 auf, da kannte ich dich nicht.

Ich habe das Zeichnen eines Tracks mit Hilfe der Umwandlung in kartesische Koordinaten in ein VB-Programm eingebaut, welches gpx-Dateien auswertet. Für diesen Zweck kenne ich etliche wesentlich umfangreichere Programme, aber es gibt Situationen, in denen ich ein Programm nutzen will, das bestimmte Dinge genau so verarbeitet, wie ich es mir vorstelle. Das bedeutet einfach, ein Programm selbst zu schreiben, so dass ich es jederzeit abändern kann.

Solange ich einen Sachverhalt selbst auswerten kann, greife ich nicht sofort zu „großen“ Programmen, auch wenn das auf den ersten Blick viel bequemer wäre. Ich habe zu oft gesehen, wie z.B. im Bereich der Statistik Zahlen ohne Verständnis in ein Programm gezwängt und die Ergebnisse dann stolz präsentiert werden, wobei der Name eines sehr kostspieligen Programms die Qualität der Auswertung belegen soll.
Wenn du also für Interessierte eine bessere Lösung zur Verfügung hast als in diesem Thema beschrieben, dann berichte doch bitte, welches Programm du empfiehlst und ob z.B. ein möglichst frei skalierbares Plotten aus einer gpx-Datei möglich ist.

Grüße Bunav
** nüvi 765 T, GPSMAP 76Cx, eTrex Legend HCx, miniHomer **
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  #9  
Alt 29.08.2012, 21:37
wernfried ist offline wernfried
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Zitat:
Zitat von Bunav Beitrag anzeigen
Du schreibst nicht, welche Projektion du als zweckmäßig ansiehst und deinen Daten zugrunde liegt. Die geeignete Projektion und den Namen eines Programms hätte man auch schon in #5 erwarten können.
Aus den Spaltenüberschriften wird leider nicht klar, welche Zahlen (Formatierung !!) da eigentlich stehen.
Keine Information über die Lage des verwendeten Koordinatensystems (offenbar nicht ECEF) und die Richtungen der Koordinatenachsen.
Kein Problem, hier ein paar Erläuterungen und etwas anschaulicher:

Zuerst erstellst du eine einfache Text-Datei mit deinen kartesischen ECEF Koordinaten, ich nenne sie "ecef.txt"
Code:
3984.52171845766      488.733418209467   4956.55497407872
3984.96767041859      488.28499580518    4956.24064373293
3984.19636615718      488.190291547067   4956.87002503991
3984.07454577934      489.182843707955   4956.870085961
3984.84585004427      489.277547963448   4956.24070465144
3984.39926324046      489.726468915148   4956.55539530558
3984.64290399248      487.74136459715    4956.55527346597
Dann holst du dir das Proj.4 vom Netz, gucks du hier: http://trac.osgeo.org/proj/
Mit dem Tool "cs2cs" kann man Koordinaten umrechnen, es wird einfach über die Kommando-Zeile (DOS-Fenster) gestartet.

In deinem Beispiel sieht der Aufruf so aus (alles in eine Zeile eingeben):
Code:
cs2cs -f "%.3f" 
+proj=geocent 
+ellps=sphere +a=6378300 +b=6378300 +units=km 
+to 
+proj=gnom 
+lon_0=7 +lat_0=51 +x_0=500 +y_0=500 
+units=m 
ecef.txt
Hier die Erklärung der Parameter:
-f "%.3f" -> Ergebnis wird mit 3 Dezimalstellen hinter dem Komma ausgegeben
+proj=geocent -> Die Projektion der Eingangs Koordinaten, hier Geozentrisch, d.h. ECEF
+ellps=sphere +a=6378300 +b=6378300 -> Das verwendete Erdmodel, hier eine Kugel (sphere) mit den Radius 6378,3km (weil standardmässig eine Ellipse erwartet wird, muss man zwei Radien angeben. Der Radius wird in m erwartet)
+units=km -> Die Einheit deiner Eingangs Koordinaten
+to -> "Konvertieren zu"
+proj=gnom -> Projektion der Ausgabe, "gnom" steht für die Gnomonische Projektion
+lon_0=7 +lat_0=51 +x_0=500 +y_0=500 -> Der Koordinaten Ursprung für die Ausgabe, Lon/Lat 7°/51° entspricht auf deinem Plott der Position 500/500
+units=m -> Die Einheit der Ausgabe Koordinaten
ecef.txt -> Der Dateiname mit den Eingangs Koordinaten. Alternativ kann man die Koordinaten auch einfach eintippen oder aus der Zwischenablage einfügen

Der Ergebnis wird direkt in der Kommandozeile ausgegeben, du erkennst deine Werte sicher wieder:
Code:
-0.559  -0.656 0.000
-499.974        -499.974 0.000
-499.974        500.000 0.000
500.000 500.000 0.000
500.000 -499.974 -0.000
999.987 0.013 0.000
-999.962        0.013 0.000
In diesem Beitrag "Liste von Koordinaten umrechnen" habe ich noch ein paar Quellen angegeben, falls du die Bibliotheken in dein eigenes Programm einbauen möchtest. Ich kann dir dazu auch ein Beispiel geben, wenn du möchtest.

Ich hoffe dass es jetzt ein wenig klarer geworden ist.

Gruss

Geändert von wernfried (29.08.2012 um 21:37 Uhr) Grund: Zusatz
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